СПРЯМЛЯЕМАЯ КРИВАЯ

- кривая, имеющая конечную длину. Пусть Г - непрерывная параметрич. кривая в трехмерном евклидовом пространстве т. е. Г={x₁=x₁(t), x₂=x₂(t), x₃=x₃(t)}, ~ где x_k(t), k=l, 2, 3 - непрерывные на отрезке функции, - произвольное разбиение отрезка и A_j(x₁(t_j), x₂(t_j), x₃(t_j)) - порожденная им последовательность точек на кривой Г.И пусть Г _п - ломаная, вписанная в кривую Г и имеющая вершины в точках А ₀, А₁, . . ., А _n. Длина этой ломаной

где

Величина

наз. длиной кривой Г. Длина s(Г) не зависит от способа параметризации кривой Г. Если то кривая Г наз. спрямляемой кривойи. С. к.
Г имеет касательную почти во всех своих точках A(x₁(t),x₂(t),x₃(t)). т. е. почти при всех значениях параметра Изучение С. к. было начато Л. Шеффером [1] и продолжено К. Жорданом [2], к-рый доказал, что кривая Г спрямляема тогда и только тогда, когда все три функции x_k(t), k=l, 2, 3, являются ограниченной вариации функциями на отрезке

Лит.:[1] Sсheеffеr L., лActa math.